Гипотеза Римана: английский математик утверждает, что решил проблему тысячелетия
Знаменитый учёный Майкл Атья, лауреат Филдсовской премии, выступил с доказательством гипотезы Римана. Эта проблема включена в список шести величайших нерешённых задач. В случае успеха исследователю достанется миллион долларов США.
"Решите гипотезу Римана, и вы станете знаменитым. Если вы уже известны, вы становитесь пресловутыми, – говорит Атья в материале New Scientist. во время разговора. – Никто не верит никакому доказательству гипотезы Римана, потому что эта задача так сложна. Никто не доказал её, так с чего бы кому-нибудь доказать её сейчас? Если, конечно, у вас нет совершенно новой идеи".
Чтобы объяснить, в чём состоит гипотеза Римана, придётся начать издалека. Вспомним, что целое число называется простым, если без остатка делится только на себя и на единицу (но само не является единицей). Например, 2, 3, 5, 7, 11 – простые числа, а 4, 6, 8, 9 – нет.
Простые числа издавна привлекают внимание математиков. Дело в том, что любое целое число либо само является простым, либо может быть получено из простых путём их перемножения. Например, 8 = 2×2×2, а 9 = 3×3. Таким образом, простые числа являются "кирпичиками", из которых строятся все целые числа с помощью операции умножения.
Есть у этого математического явления и практическая сторона. Перемножить несколько простых чисел – куда более лёгкая задача, чем произвести обратный процесс: взять результат и рассчитать, произведением каких простых чисел он является. Перебор всех возможных кандидатов – слишком долгое дело. Каждый может убедиться в этом на опыте, попытавшись выяснить с помощью калькулятора, на какие простые множители раскладывается, скажем, 1059811.
Если простые множители достаточно велики, то найти их по произведению – задача, непосильная даже современным компьютерам. И на этом строятся алгоритмы шифрования, защищающие, скажем, наши финансовые счета. Ключ состоит из нескольких очень больших простых чисел. Компьютер перемножает их. Если произведение сходится с тем, которое хранится в базе данных, ему предоставляется доступ к информации. Зная же только произведение, найти его множители (подобрать ключ) невозможно ни за какой разумный срок.
Наши счета защищает тот факт, что не известно (и, возможно, не существует) никакого быстрого алгоритма, позволяющего найти все простые числа от единицы до заданного числа x. Однако если мы не можем узнать, какие это числа, можем ли мы, по крайней мере, выяснить, сколько их?
Функция, задающая количество простых чисел от единицы до данного числа x называется функцией распределения простых чисел. Для неё никакой удобной формулы тоже не найдено, однако математики с интересом исследуют её свойства.
В 1859 году великий математик Бернхард Риман сформулировал гипотезу, которая позже была названа его именем. Если эта гипотеза верна, то верно и множество интереснейших утверждений о распределении простых чисел.
Как она формулируется? Здесь нам придётся немного коснуться высшей математики. Все числа, которые изучаются в школьной программе – положительные, отрицательные и нуль, целые и дробные, рациональные и иррациональные – математики объединяют под названием действительных. Однако существуют ещё и комплексные числа.
Такое число представляет собой сумму a + i×b, где a, b – действительные числа, i – так называемая мнимая единица. Она определяется формулой i2 = -1. Если b = 0, то комплексное число – это просто действительное число a. Таким образом, действительные числа есть лишь частный случай комплексных.
Понятно, что никакое действительное число в квадрате не может быть отрицательным. Поэтому математикам и понадобилась мнимая единица и комплексные числа. Они позволяют решать задачи, которые при оперировании только действительными числами выглядят попросту бессмысленными. А вот с помощью этого инструмента такие задачи зачастую изящно решаются, и эти решения, кстати, находят многочисленные применения в физике и инженерии. Так что в том, что человечество сумело изобрести, скажем, компьютеры, есть "заслуга" комплексных чисел.
Риман придумал функцию, которая сегодня так и называется дзета-функцией Римана ζ(x). Её определения мы с позволения читателя приводить не будем: оно громоздко и требует введения ещё нескольких математических понятий. Отметим лишь два факта. Во-первых, эта функция тесно связана с распределением простых чисел. Во-вторых, её аргумент – комплексное число.
По определению дзета-функции, если её аргумент – отрицательное чётное число (напомним, что целые числа – тоже комплексные), то ζ(x) = 0. Другими словами, ζ(-2) = ζ(-4) = ζ(-6) = … = 0. Вопрос заключается в том, в каких ещё числах эта функция обращается в нуль.
Гипотеза Римана звучит так: если ζ(a + ib) = 0 и a + ib не является отрицательным чётным (которые рассмотрены выше), то a = ½.
Такое на первый взгляд простое утверждение пытались доказать многие великие математики, но никому это не удалось. Математический институт имени Клэя (Clay Mathematics Institute) включил эту гипотезу в число семи проблем тысячелетия, за решение которых было назначено вознаграждение в один миллион долларов США. Заметим, что пока из этого списка решена только одна задача. Это гипотеза Пуанкаре, доказанная российским математиком Григорием Перельманом.
Атья утверждает, что доказал гипотезу Римана. Препринт доказательства, опубликованный в виде PDF-файла, занимает всего пять страниц. Как уточняет New Scientist, оно основано на результатах великих математиков XX века Джона фон Неймана и Фридриха Хирцебруха. Воспользовавшись их теоремами, Атья доказал гипотезу Римана от противного: он предположил, что она неверна, и пришёл к противоречию.
"Это чудесно, – говорит Атья, – но я утверждаю, что вся тяжелая работа была выполнена 70 лет назад".
Впрочем, работа математика, разумеется, нуждается в тщательной проверке. Никто не застрахован от ошибки в таком трудном деле, как математическое доказательство, тем более когда речь идёт о проблемах тысячелетия. Попытки доказательства гипотезы Римана разными авторами неоднократно публиковались, но каждый раз оказывались ошибочными. Возможно, в этот раз человечеству наконец повезёт.
Напомним, что "Вести.Наука" (nauka.vesti.ru) ранее писали о других выдающихся математических работах, в том числе выполненных российскими учёными.