"Нобелевку для математиков" присудили за мосты между науками

Норвежская академия наук и литературы присудила Абелевскую премию за 2018 год, которую часто называют "Нобелевской премией для математиков". Лауреатом стал Роберт Лёнглендс, заслуженный профессор Института перспективных исследований, США. Премию ему вручит лично король Норвегии Харальд V 22 мая в Осло. Награды математик удостоился, согласно официальной формулировке, "за прогностическую программу, связывающую теорию представлений с теорией чисел".

Напомним, что теория чисел изучает свойства целых чисел. Например, типичным утверждением теории чисел является знаменитая теорема Ферма: "не существует таких натуральных чисел x, y, z, n, что xⁿ + yⁿ = zⁿ и при этом n>2".

Отметим, что теорема Ферма обладает замечательным свойством: она очень легко формулируется (для этого достаточно школьных знаний) и при этом невероятно тяжело доказывается (над ней бились чуть ли не все лучшие математики человечества, пока, использовав многочисленные достижения предшественников, доказательство не завершил Эндрю Уайлс). Очень простые формулировки очень трудных проблем – характерная черта теории чисел.

Теория представлений связывает общую алгебру с линейной. Поясним, о чём идёт речь.

Каждому из нас в школе объясняли простейшие свойства действий над числами: a + b = b + a (коммутативность сложения), (a + b) + c = a + (b + c) (ассоциативность сложения), и так далее. Ещё к концу XIX века математики обнаружили, что те или иные свойства из этого набора присущи не только сложению чисел, но и самым разным операциям над другими объектами.

Например, свойство ассоциативности: (a + b) + c = a + (b + c). Оно выполняется не только для сложения чисел, но и для их умножения: (a x b) x c = a x (b x c). А ещё оно выполняется для композиции функций (когда результат одной функции подставляется в другую), движения геометрических фигур и так далее.

Но, если некоторое утверждение о сложении чисел выводится из его ассоциативности без использования других свойств, то оно тем самым будет верно и для умножения чисел, композиции функций, движения фигур и так далее. Они ведь тоже ассоциативны. То есть достаточно доказать, что нужное утверждение следует из ассоциативности как таковой, и его не нужно будет доказывать отдельно для функций, чисел и фигур – но будет применимо к ним автоматически. Это гигантская экономия времени и сил.

Вот этим "выделением свойств в общем виде" и занимается раздел математики, называемый общей алгеброй. Он не вникает в природу объектов и операций над ними. Всё, что интересует алгебраиста – чтобы эти операции имели тот или иной набор свойств. Например, если выполняется свойство ассоциативности (a + b) + c = a + (b + c), где буквы означают любые объекты, а крестик – любую операцию над ними, то математик говорит, что перед нами полугруппа. И доказывает теоремы о полугруппах, которые будут автоматически применимы ко всем их частным случаям.

Алгебраические структуры различаются тем, какие именно свойства они фиксируют. Есть много разных структур: полугруппа, группа, кольцо, поле, груда и так далее. Их свойства разнообразны и порой трудны для исследования. Но есть раздел общей алгебры, который называется линейной алгеброй. Его объекты обладают очень удобными свойствами и хорошо изучены. Теория представлений даёт инструмент, переводящий некоторые утверждения общей алгебры на язык линейной алгебры, на котором их легко доказать.

Как уже упоминалось, Лёнглендс доказал теоремы, связывающие теорию чисел с теорией представлений. Но его вклад в математику этим не ограничивается.

Начнём издалека. Даже школьники знают, что математика изучает не только числа. Её частью является и геометрия – наука о точках, линиях и составленных из них фигурах. Кроме того, выше мы уже упоминали общую алгебру, которой вообще безразлична природа её объектов, а важны лишь свойства операций над ними. На самом же деле предмет математики гораздо богаче. По сути, она изучает любые объекты, которым можно дать точное определение.

Математические науки представляют собой подлинный зоопарк. Теория чисел, теория групп, теория меры, теория моделей… Этот список можно продолжать очень и очень долго. Зачастую эти теории слабо связаны друг с другом, так что знание одной из них почти никак не помогает понять другую. Математики из разных областей "говорят на разных языках" и не могут пользоваться достижениями друг друга.

Вместе с тем есть примеры, когда обнаруживались очень неочевидные связи между далёкими на первый взгляд областями математики. Например, знаменитая гипотеза Таниямы предполагала связь между такими непохожими друг на друга объектами, как эллиптические кривые и модулярные формы. Эта связь, по сути, оказалась словарём для переводов с языка на язык: каждое утверждение об эллиптических кривых превращалось в утверждение о модулярных формах, и наоборот.

Внезапно оказалось, что утверждения о модулярных формах, к которым математики даже не знали, как подступиться, относительно легко доказываются на языке эллиптических кривых, и обратно. Задолго до того, как гипотеза Таниямы была доказана, математические журналы запестрели статьями, начинающимися с фразы "предположим, гипотеза Таниямы верна".

Кстати, именно эту гипотезу (вернее, несколько более слабое утверждение) доказал Эндрю Уайлс, превратив её в теорему о модулярности. И тут же получил Великую теорему Ферма в качестве следствия. Более того, теорема о модулярности позволяет печь утверждения, похожие на "математическую загадку тысячелетия", как блины. Вот какой мощный инструмент дают в руки учёным связи между на первый взгляд не связанными областями математики.

"Программа Лёнглендса" – это обширная совокупность гипотез о взаимосвязях между самыми разными областями математики. В частности, она охватывает теорию чисел, алгебраическую геометрию и теорию автоморфных форм. Свою программу математик предложил ещё в 1967 году в письме Андре Вейлю. Копия этого документа широко распространилась среди специалистов.

"Институт [перспективных исследований] невероятно горд и рад, что Роберт Лёнглендс получил премию Абеля 2018 года в знак признания его прославленной программы, – сказал директор института Робберт Дижкрааф (Robbert Dijkgraaf). – Глубокие идеи Боба вдохновили поколения математиков и дали много глубоких прорывов. Курс, который он наметил, будет направлять будущее математики и, несомненно, приведёт к новым неожиданным открытиям. Это дар миру, который он продолжает приносить".

Разумеется, премию дали не столько за гипотезы, сколько за доказательства некоторых из них.

Питер Сарнак (Peter Sarnak), профессор Института перспективных исследований, объясняет: "Программа Лёнглендса и его основная гипотеза были рождены из конкретных и далеко идущих прорывов, достигнутых Лёнглендсом на ранней стадии. Как только он сформулировал эти объединяющие идеи, Лёнглендс, а также его ученики и его школа, потратил большую часть своего времени и усилий на разработку фундаментальных инструментов, таких как формула следа, чтобы доказать множество его гипотез. Эти доказательства стоили большого труда и часто оказывались основой для впечатляющих работ других [математиков]. Хорошо известный пример – теорема об изменении базы Лёнглендса, которая стала отправной точкой доказательства Уайлсом последней теоремы Ферма".

Список достижений знаменитого математика можно видеть в пресс-релизе института, но неспециалисту вряд ли удастся понять, что такое, например, "разработка методов связывания дзета-функций многообразий Шимуры с автоморфными L-функциями".

Напомним, что премия Абеля ежегодно вручается с 2003 года. Её размер составляет около 800 тысяч долларов США. Среди лауреатов разных лет есть и российские учёные: в 2014 году награды удостоился Яков Синай, а в 2009 году – Михаил Громов.